Calculul grinzii principale precomprimate

Caracteristicile de calcul ale materialelor

Beton C60/75

fck = 60 MPa

fcd = fck/1.5 = 60/1.5 = 40 MPa

fctm = 4.4 MPa

fctk = 0.7 ∙ fctm = 0.7 ∙ 4.4 = 3.08 MPa

fctd = fctk / 1.5 = 3.08 / 1.5 = 2.053 MPa

fcm = fck + 8 = 68 MPa

 La transfer:

Timpul echivalent, ținând seama de tratamentul termic:

Pentru ciment CEM 52.5R -> s=0.2

  fcm(t)=β_cc(t)∙fcm=0.6306∙68=42.88 MPa

  fck(t)=fcm(t)-8=42.88-8=34.88 MPa

Armături active St 1670/1860

Clasa care indică comportarea la relaxare: 2 (relaxare scazută)

fpk= 1860 MPa

f_p0.1k=1670 MPa

Ep = 195 000 MPa

ε_uk ≥ 35‰

Armături pasive BST 500S :

fyk= 500 MPa

Es = 200 000 MPa

Caracteristici geometrice

Secțiunea 1 (câmp)

-      înălțime grindă                                                                    h = 1600 mm

-      înălțime medie talpă inferioară                                           hi = 258 mm

-      lățime talpă inferioară                                                         bi = 510 mm

-      înălțime medie talpă superioară                                         hs = 193 mm

-      lățime talpă superioară                                                       bs = 700 mm

-      lățime inimă                                                                          b = 120 mm

-      aria secțiunii                                                                       Ac = 404 593 mm²

-      perimetrul secțiunii                                                            u_tot = 5 165 mm

-      distanța de la centrul de greutate la partea superioară a secțiunii               x_c = 771.63 mm

 -     distanța de la latura inferioară a secțiunii la centrul de greutate al armăturii pretensionate  

-       aria de armatură nepretensionată de la partea superioara           4Ø12 As = 452.4 mm²

-       distanța de la latura superioară a secțiunii la centrul de greutate al armăturii         a’ = 45 mm

-       aria de beton ideală                                                                       Aci = 424 572.62 mm²

-       momentul de inerție al secțiunii ideale                                           Ici = 1.5158 ∙ 10 11 mm⁴

Secțiunea 2 – se consideră la capătul zonei de transmitere lpt= 760 mm

Deoarece secțiunea 2 propriu-zisă se află înaintea zonei de transmitere, în locul ei se va considera tot secțiunea 1, dar cu Ap= 14 ∙ 140 = 1960 mm².

Încărcări și eforturi de calcul

          

Tensionarea armăturilor

Tensiunea inițială
σ_p,max = min{0.8∙f_k;0.9∙f_p0.1k } = min{0.8∙1860;0.9∙1670} = min{1488;1503} = 1488 MPa
Se alege :
σ_p,eff = 1440 MPa
Pmax = Ap∙σ_p,eff = 3220∙1440∙10^-3 = 4636.8 kN

Lunecarea armăturilor:
se consideră armăturile întinse doar de la un capat
   lunecare Δl = 5 mm
   lungime banc l = 60 m

 

Tensiunea după blocare
σ_p1 = σ_p,eff-∆σ_s1=1440-16.25=1423.75 MPa

P1 = Pmax-∆P_s1=4636.8-52.325=4584.48 kN

Pierderile de tensiune între tensionare și transfer

Tratament termic:
- T0 = 20⁰
- Tmax = 60⁰

Pierdere datorită tratamentului termic:

∆σ_θ=0.5∙Ep∙α_e∙(T_max-T₀ )=0.5∙195 000∙10^-5∙(60-20)=39 MPa
∆P_θ=Ap∙∆σ_θ=3220∙39∙10^-3=125.58 kN

Pierdere din relaxare în faza inițială:

în care ρ₁₀₀₀=2.5% pentru clasa 2 de comportare la relaxare a toroanelor.
∆P_pr=Ap∙∆σ_pr=3220∙28.588∙10^-3=92.053 kN

Tensiunea înainte de transfer:
        σ_p2 = σ_p1-∆σ_θ-∆σ_pr=1423.75-39-28.588=1356.16 MPa
         P₂ = P₁-∆P_θ-∆P_pr=4584.48-125.58-92.053=4366.85 kN
Pierderi ∆P₂=P_max-P₂=4636.8-4366.85=269.95 kN (5.82%)

 Pierderi de tensiune la transfer
Pierderi din scurtarea elastică datorită acțiunii precomprimării și mobilizării greutații proprii (secțiunea 1):

∆σ_el=α_p∙σ_cp=5.7271∙17.6=100.8 MPa
∆P_el=∆σ_el∙Ap=100.8∙3220∙10^-3=324.57 kN
Deci: σ_p3=σ_p2-∆σ_el=1356.16-100.8=1255.36 MPa
P₃=P₂-∆P_el=4366.85-324.57=4042.28 kN
în sectiunea 2: P_3,sect2=σ_p3∙A_p2=1255.36∙1960∙10^-3=2460.51 kN
Pierderea în procente cumulată de la tensionarea armăturii: 12.82 %.

Eforturi în beton în faza inițială

Secțiunea 1

Eforturi unitare în beton în fibra superioară:

Eforturi unitare în beton la fibra inferioară:

Secțiunea 2

Calculul lungimii de transmitere

unde α₁=1.25 pentru transfer brusc; α₂=0.19 pentru toroane cu 7 sârme; ∅=0.6∙25.4=15.24 mm este diametrul unui toron.
               l_pt1=0.8∙l_pt=0.8∙949.79=760 mm
               l_pt2=1.2∙l_pt=1.2∙949.79=1140 mm

Lungimea zonei de difuzie:

unde d = h-ap = 1600-151.3 = 1448.7 mm

Eforturi unitare in beton in fibra superioară:

Eforturi unitare în beton la fibra inferioară:

Se observa că în fibra inferioară apar eforturi de compresiune datorita forței de precomprimare.

Eforturi în armătura în faza finală

Efectul contracției betonului

Deformația de contracție de uscare de referință este:

 unde:

f_cm0 = 10 MPa
α_ds1 = 6 pentru cimenturi din clasa R
α_ds2 = 0.11 pentru cimenturi din clasa R
RH = 60% reprezinta umiditatea mediului
RH₀ = 100%

unde:

t = 365∙57 = 20 805 zile – este vârsta betonului la momentul considerat (57 de ani);
ts = t_T = 2.56 zile – este vârsta betonului la inceputul contracției de uscare (sau umflare). În mod normal, această vârstră corespunde sfârșitului tratamentului;

u = u_tot deoarece se consideră tot perimetrul expus la uscare.
Prin interpolare în tabelul 3.3 din SR EN 1992-1-1 cu valoarea lui h₀, se obtine coeficientul k_h astfel:

200-100           ...           0.85-1
200-156.67      ...           0.85-kh
-----------------------------------------

Deformația datorată contracției la uscare:
ε_cd(t)=β_ds(t,ts) ∙ k_h∙ε_cd,0=0.9962∙0.915∙0.00043023=0.0003922
Deformația datorată contracției endogene:
ε_ca(∞)=2.5∙(fck-10)∙10^-6=2.5∙(60-10)∙10^-6=0.000125
ε_ca(t)=β_as(t)∙ε_ca(∞)=1∙0.000125=0.000125

Contracția totală este:

ε_cs = ε_cd+ε_ca = 0.0003922+0.000125 = 0.0005172

Efectul relaxării armăturii

Pierderi din scurtarea elastică datorită acțiunii precomprimării și a încărcărilor din gruparea frecventă (secțiunea 1):

∆σ_el=α_p∙σ_cp=5.7271∙8.052=46.115 MPa

∆P_el=∆σ_el∙Ap=46.115∙3220∙10^-3=148.49 kN

σ_pm0=σ_p2-∆σ_el=1 356.16-46.115=1 310.05 MPa

P_m0=P₂-∆P_el=4 366.85-148.49=4 218.36 kN

Efortul unitar normal la nivelul armăturii pretensionate este:

Efortul în beton, în vecinătatea armăturilor, considerând combinația cvasipermanentă de încărcari, este:

σ_pi=σ_pm0+α_p∙σ_c,qp=1310.5+4.9872∙6.94=1344.66 MPa

Valoarea variației efortului în armătură datorită relaxării sub forța de precomprimare se calculează în funcție de clasa de relaxare a oțelului și intervalul de timp standard (57 de ani), la care se adaugă efectul tratamentului termic.

 în care ρ₁₀₀₀=2.5% pentru clasa 2 de comportare la relaxare a toroanelor, iar t₁=500 000 h ≅ 57 ani

Efectul curgerii lente

Determinarea coeficientului de fluaj/curgere lentă la timpul t, pentru o încărcare aplicată la timpul t₀, ϕ_(t,t0), se face conform anexei B din SR EN 1992-1-1. Aceasta se calculează la un interval de timp de 57 de ani (500 000 ore), la care se adaugă efectul tratamentului termic.

t = 500 000 + 2 172.16 = 502 172.16 h

RH = 60% - umiditatea relativă a mediului

unde
t = 20 805 zile este vârsta betonului la momentul considerat, în zile
t₀ = t_T = 2.5625 zile este vârsta betonului la momentul încărcării, în zile

σ_c,qp este efortul în beton, în vecinătatea armaturilor, sub acțiunea greutății proprii și a forței de precomprimare inițiale.

Deci

Efortul în armătura precomprimată în faza finală:

Eforturi de calcul în armătura în faza finală pentru verificări la SLU

Eforturi de calcul in armătură în faza finală pentru verificări la SLS

Verificarea la SLS pentru limitarea eforturilor unitare

Verificarea eforturilor de compresiune la transfer

Secțiunea 1

Secțiunea 2

Verificarea eforturilor unitare de compresiune sub incarcari caracteristice

Secțiunea 1
Eforturi la partea inferioară:

Eforturi la partea superioară:

Secțiunea 2

Eforturi la partea inferioară:

Eforturi la partea superioară:

Verificarea condiției de liniaritate a fenomenului de curgere lentă

Secțiunea 1

Secțiunea 2

Limitarea efortului în armăturile pretensionate

Efortul unitar în armătura după transfer trebuie să fie:

Sub încărcări caracteristice efortul în armatura trebuie să fie:

Verificarea la SLS, la fisurare

Verificarea se face conform punctului 7.3 din SR EN 1992-1.
Clasa de expunere este XC1. Pentru această clasă de expunere, deschiderea admisibilă a fisurilor sub încărcări frecvente este 0.2 mm.

Pentru secțiunea centrală se verifică starea de eforturi din beton sub încărcări frecvente:

Sub gruparea de încărcări frecvente secțiunea de beton este integral comprimată, elementul nefiind fisurat.

Verificarea la SLS a deplasărilor

Verificarea se face conform punctului 7.4 din SR EN 1992-1.

Sageata admisibilă:

Se corectează modulul de elasticitate al betonului în funcție de curgerea lentă:

Valoarea contrasăgeții datorate precomprimării:

Valoarea săgeții din încărcari:

Valoarea totală a săgeții:

y_tot=y_ext-y_p=84.07-68.3= 15.77 mm < y_adm

Verificarea la SLU la încovoiere

Valoarea de calcul a rezistenței armăturii:

Forța de întindere în armătura pretensionată :

T_p=A_p∙f_pd=3220∙1452.174∙10^-3= 4 676 kN

Forța de compresiune din armătura nepretensionată de la partea superioară:

C_s=A^'_s∙f_yd=452.4∙434.8∙10^-3= 196.7 kN

Înălțimea zonei comprimate:

Momentul capabil este:

unde :

d=h-ap=1600-151.3= 1 448.7 mm

Verificarea la SLU la fortă tăietoare

Verificarea la forța tăietoare se face la o distantă "d" de reazem.
Se verifică dacă elementul este fisurat în secțiunea de calcul.

Elementul nu este fisurat.
Capacitatea la forța tăietoare se calculează cu relația:

unde

 

 

S – momentul static al suprafeței situate deasupra axei ce trece prin centrul de greutate, în raport cu acea axă

Se observă că V_RD,C= 657.97 kN<V_ED=717.17 kN, capacitatea la forță tăietoare este insuficientă. Ea va fi marită prin dispunerea de etrieri suplimentari care asigură și îndeplinirea verificării la fisurare între grupuri de toroane.

Verificarea la fisurare între grupuri de toroane

y=h-h1=1600-267.6=1332.4 mm

 

Forta de despicare dintre ancoraje este:

unde
np – numarul de armături dispuse la capătul grinzii. Se ia egal cu 1 considerându-se că forța de despicare este preluată atât de etrieri cât și de furci.
Ras – rezistenta de calcul a armăturii transversale, luată ca pentru OB37 (210 MPa), indiferent de tipul armăturii utilizate.
Aria efectivă de armatură va fi compusă din trei etrieri de diametru 12 mm (678.6 mm2) dispuși la capătul grinzii la pas de 5 cm, două furci verticale de diametru 12 mm (226.2 mm2) și încă două furci verticale de diametru 14 mm (307.9 mm2).

Verificarea la fisurare între toroane

Forța de despicare se determină cu relația:

Unde:

Ap – aria unui singur toron (140 mm2)

σ_p,max=σ_p2=1356.16 MPa

termenul (1-a₀/a) se consideră aproximativ egal cu 1.

Efortul unitar maxim transversal de întindere este:

Deoarece relația este satisfacută, verificarea la fisurare în planul fiecarei armături pretensionate nu este necesară, armătura transversală dispunându-se numai din considerente constructive.

Asigurarea ancorării armăturii longitudinale la capete

Se realizează prin dispunerea de furci la capetele grinzii.

unde F_td=A_s∙f_yd.

^Deci   

^{Pentru două furci de diametru 14 mm si două de 12 mm se obține}   

Dispunerea armăturilor transversale

Pentru dispunerea etrierilor s-au respectat urmatoărele reguli:
-    s-au dispus primii etrieri de la capătul grinzii conform verificării la despicare între grupuri de toroane;
-    urmatorii etrieri sa aibă ori diametrul urmator mai mic decât precedenții ori pasul mai mare decât precedenții (nu se acceptă variații bruște ale ariei de armătură transversală în lungul grinzii);
-    în orice punct al grinzii, forța tăietoare de calcul să fie mai mică decât cea capabilă.

În zona de rezemare a panelor din coamă, în grinda "I" s-au considerat etrieri de suspendare pentru preluarea reacțiunii aferente panelor respective. Reacțiunea respectivă este R = 26.55 kN/m ∙ 13.79 m = 366.12 kN ≤ V_RD = 406.51 kN (vezi secțiunea Calculul panei T88/16). Acești etrieri au fost distribuiți pe o lungime de grindă măsurată la partea inferioară a tălpii superioare a acesteia, corespunzător unui unghi de 45⁰ de o parte și de alta a reazemului panei. Pentru zonele unde reazemă panele aflate între coamă și dolie, acest calcul nu este necesar. Etrierii din aceste zone, determinați prin calculul la forta tăietoare, pot prelua și încărcarea dată de reacțiunea panelor respective.

Diagrama de eforturi de calcul

Calculul momentului capabil al grinzii cu 14 toroane

Ap=14∙140=1960 mm²

Forta de întindere în armătura pretensionată:

Tp=Ap∙f_pd=1960∙1452.174∙10^-3=2846.26 kN

Forta de compresiune din armătura nepretensionată de la partea superioara:

Cs=A'_s∙f_yd=452.4∙434.8∙10^-3=196.7 kN

unde A’_s este aria de armatură din talpa superioară (patru bare de diametru 12 mm).

Înălțimea zonei comprimate:

Momentul capabil este:

Calculul momentului capabil al grinzii cu 20 toroane

Ap=20∙140=2800 mm²

Forța de întindere în armătura pretensionată:

Tp=Ap∙f_pd=2800∙1452.174∙10^-3=4066.09 kN

Forța de compresiune din armătura nepretensionată de la partea superioară:

Cs=A'_s∙f_yd=452.4∙434.8∙10^-3=196.7 kN

unde A’_s este aria de armătura din talpa superioară (patru bare de diametru 12 mm).

Înălțimea zonei comprimate:

 

Momentul capabil este:

Verificarea la încovoiere oblică

unde :
-   M^V_ED este momentul de calcul dat de încărcările cvasipermanente (pe direcția verticală)
-   M^V_RD este momentul capabil al grinzii (pe directia verticală)
-   M^H_ED este momentul de calcul dat de seism (pe directie orizontală)
-   M^H_RD este momentul capabil al grinzii pe direcția de acțiune a seismului (orizontală).

(unde c este coeficientul seismic)
Pentru calculul momentului capabil pe directia seismului, se consideră că în talpa superioară a grinzii armătura longitudinală este alcatuită din doua bare (aflate una în stânga secțiunii, alta în dreapta) a căror arie de armătura este de fapt aria inițială (adică, în cazul de față, cele patru bare de diametru 12 mm).

Momentul capabil pe direcția seismului este mai mic decat momentul de calcul. Prin urmare condiția de verificare nu este îndeplinită. Folosind programe speciale care țin seama și de celelalte bare de armatură din grindă (inclusiv toroane), se poate determina aria necesara de armatură pentru ca aceasta condiție de verificare la încovoiere oblică să fie îndeplinită. În cazul nostru, barele de armatura din talpa superioara se vor modifica astfel: