Calculul panei precomprimate

Caracteristicile de calcul ale materialelor

Beton C45/55

fck = 45 MPa

fcd = fck/1.5 = 45/1.5 = 30 MPa

fctm = 3.8 MPa

fctk = 0.7 ∙ fctm = 0.7 ∙ 3.8 = 2.66 MPa

fctd = fctk / 1.5 = 2.66 / 1.5 = 1.77 MPa

fcm = fck + 8 = 53 MPa

La transfer:

Timpul echivalent, ținând seama de tratamentul termic:

Pentru ciment CEM 52.5R -> s=0.2

Armături active St 1670/1860
Clasa care indică comportarea la relaxare: 2 (relaxare scazută)

fpk = 1860 MPa

f_p0.1k = 1670 MPa

Ep = 195 000 MPa

ε_uk ≥ 35‰
Armături passive BST 500S

fyk = 500 MPa

Es = 200 000 MPa

Caracteristici geometrice

Secțiunea 1 (câmp)

  -   înălțime grindă                                                                          h = 880 mm
  -   înălțime medie talpă inferioară                                                 hi = 746/2=373 mm
  -   lățime talpă inferioară                                                               bi = 160 mm
  -   înălțime medie talpă superioară                                               hs = 134 mm
  -   lățime talpă superioară                                                             bs = 500 mm
  -   lățime inimă                                                                                b = 160 mm
  -   aria secțiunii                                                                             Ac = 186 360 mm²
  -   perimetrul secțiunii                                                                 u_tot = 2 760 mm
  -   distanța de la centrul de greutate la partea superioară a secțiunii                    x_c = 349 mm
  -   momentul de inerție                                                                   I_c = 1.3944∙10¹⁰ mm⁴

  -   aria de armătură pretensionată                                                                          Ap = 8 ∙ 93 = 744 mm²
  -   distanta de la latura inferioară a secțiunii la centrul de greutate al armăturii pretensionate       a_p = 135 mm
  -   aria de armatură nepretensionată de la partea superioară             2Ø12+2Ø8 As = 326.73 mm²
  -   distanța de la latura superioară a secțiunii la centrul de greutate al armăturii                             a’ = 40 mm
  -   aria de beton ideală                                                                                           Aci = 193 025.41 mm²
  -   momentul de inerție al secțiunii ideale                                                                Ici = 1.494 ∙ 10¹⁰ mm⁴

 

 -    excentricitatea forței de precomprimare (distanța de la centrul de greutate al secțiunii omogene la centrul de greutate al armăturilor pretensionate)                                                                                                         z_cp = 388.7 mm

Secțiunea 2 – se consideră la capătul zonei de transmitere lpt = 805 mm

Secțiunea 2 este aceeași cu secțiunea 1, diferența constând în numărul mai mic de armături pretensionate.

  -   aria de armătură pretensionată                                                                            Ap = 14 ∙ 140 = 1960 mm²
  -   distanta de la latura inferioară a secțiunii la centrul de greutate al armăturii pretensionate         a_p = 185 mm
  -   aria de beton ideală                                                                                             Aci = 191 026.14 mm²
  -   momentul de inerție al secțiunii ideale                                                                  Ici = 1.45622 ∙ 10¹⁰ mm⁴

 

 -   excentricitatea fortei de precomprimare (distanța de la centrul de greutate al secțiunii omogene la centrul de greutate al armăturilor pretensionate)                                                                                                             z_cp = 343 mm

Incărcări și eforturi de calcul

 Incărcări – valori caracteristice:

-   greutate proprie: A_secțiune∙γ_ba = 0.18636∙25 = 4.66 kN/m
-   greutate învelitoare + suspendate: (q_invelitoare+q_suspendate)∙d_interax = (0.44+0.25)∙6 = 4.14 kN/m
-   greutate zăpadă

Conform CR 1-1-3/2012:

 -   γ_Is este factorul de importanță-expunere pentru acțiunea zăpezii și este egal cu 1 pentru clasa III de importanță-expunere a clădirilor;
 -   μ_i este coeficientul de formă pentru încărcări datorită aglomerării excepționale de zăpadă pe acoperiș;
 -   Ce este coefiecientul de expunere al construcției și este egal cu 1 pentru expunere normală;
 -   Ct este coeficientul termic și este egal cu 1;
 -   s_k este valoarea caracteristică a încărcării cu zăpadă pe sol și este egală cu 2 kN/m^2 pentru Bucuresti.

 -    cazul I de încărcare cu zăpadă (pe pana din coamă): μ₁=0.8 → s = γ_Is ∙ μ₁ ∙ C_e ∙ C_t ∙ s_k = 1 ∙ 0.8 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 2=1.6 kN/m²

                                                                                                           s = γ_Is ∙ μ2 ∙ C_e ∙ C_t ∙ s_k = 1∙0.83 ∙ 1 ∙ 1  ∙2 = 1.66 kN/m²

^{Pentru pana din mijloc (dintre dolie si coamă), încărcarea din zăpadă este:}  

Iar ca încarcare liniară, aceasta este: s ∙ d_interax = 1.63 ∙ 6 = 9.78 kN/m.

Tensionarea armăturilor

Tensiunea initială

σ_p,max = min{0.8 ∙ f_k; 0.9 ∙ f_p0.1k } = min{0.8 ∙ 1860; 0.9 ∙ 1670} = min{1488; 1503} = 1488 MPa

Se alege :

σ_p,eff = 1440 MPa
Pmax = Ap ∙ σ_p,eff = 744 ∙ 1440 ∙10^-3 = 1071.36 kN

Lunecarea armăturilor:
se consideră armăturile întinse doar de la un capat

-    lunecare Δl = 5 mm

-    lungime banc l = 60 m

^{-    pierdere de tensiune}      

Tensiunea după blocare

σ_p1 = σ_p,eff - ∆σ_s1 = 1440 - 16.25 = 1423.75 MPa

P1 = Pmax - ∆P_s1 = 1071.36 - 12.09 = 1059.27 kN

Pierderile de tensiune între tensionare și transfer

Tratament termic:

-    T₀ = 20⁰
-    T_max = 60⁰

Pierdere datorită tratamentului termic:

∆σ_θ = 0.5  ∙ Ep ∙ α_e ∙ (T_max - T₀) = 0.5 ∙ 195 000 ∙ 10^-5 ∙ (60-20) = 39 MPa
∆P_θ = Ap  ∙ ∆σ_θ = 744 ∙ 39 ∙10^-3 = 29.02 kN

Pierdere din relaxare în faza inițială:

în care ρ₁₀₀₀ = 2.5% pentru clasa 2 de comportare la relaxare a toroanelor.

∆P_pr = Ap ∙ ∆σ_pr = 744 ∙ 28.586 ∙10^-3 = 21.27 kN

Tensiunea înainte de transfer:

                σ_p2 = σ_p1 - ∆σ_θ - ∆σ_pr = 1423.75 - 39 - 28.586 = 1356.164 MPa
                  P₂ = P₁ - ∆P_θ - ∆P_pr = 1059.27 - 29.02 - 21.27 = 1008.98 kN
Pierderi   ∆P₂ = P_max - P₂ = 1071.36 - 1008.98 = 62.38 kN (5.82%) 

Pierderi de tensiune la transfer

Pierderi din scurtarea elastică datorită acțiunii precomprimării și mobilizării greutătii proprii (secțiunea 1):

∆σ_el = α_p ∙ σ_cp = 6.18 ∙ 11.54 = 71.32 MPa
∆P_el = ∆σ_el ∙ Ap = 71.32 ∙ 744 ∙ 10^-3 = 53.06 kN

Deci:                 σ_p3 = σ_p2 - ∆σ_el = 1356.16 - 71.32 = 1284.84 MPa

                           P₃ = P₂ - ∆P_el = 1008.98 - 53.06 = 955.92 kN

în secțiunea 2:  P_3,sect2 = σ_p3 ∙ A_p2 = 1284.84 ∙ 372 ∙ 10^-3 = 477.96 kN

Pierderea în procente cumulată de la tensionarea armăturii: 10.78 %.

Eforturi în beton în faza inițială

Secțiunea 1

Eforturi unitare în beton în fibra superioară:

Eforturi unitare în beton în fibra inferioară:

Secțiunea 2

Calculul lungimii de transmitere

f_bpt = η_p1  ∙η₁ ∙ f_ctd(t) = 3.2 ∙ 1 ∙ 1.204 = 3.853 MPa

^Unde:          

Unde α₁ = 1.25 pentru transfer brusc; α₂ = 0.19 pentru toroane cu 7 sârme; ∅ = 0.6∙25.4 =15.24 mm este diametrul unui toron.

l_pt1 = 0.8 ∙ l_pt = 0.8 ∙ 1005.81 = 805 mm
l_pt2 = 1.2 ∙ l_pt = 1.2 ∙ 1005.81 = 1207 mm

^{Lungimea zonei de difuzie:}     

Unde       d = h - ap = 880 - 135 = 745 mm

Eforturi unitare în beton în fibra superioară:

Eforturi unitare în beton în fibra inferioară:

Se observa ca în fibra inferioară apar eforturi de compresiune datorită forței de precomprimare.

Eforturi în armătură în faza finală

Efectul contracției betonului

Deformația de contracție de uscare de referință este:

 

unde

f_cm0 = 10 MPa
α_ds1 = 6 pentru cimenturi din clasa R
α_ds2 = 0.11 pentru cimenturi din clasa R
RH = 60% reprezintă umiditatea mediului
RH₀ = 100%

unde:

t = 365∙57 = 20 805 zile – este vârsta betonului la momentul considerat (57 de ani);

ts = t_T = 2.52 zile – este vârsta betonului la începutul contracției de uscare (sau umflare). În mod normal, aceasta corespunde sfârșitului tratamentului;

u = u_totdeoarece se consideră tot perimetrul expus la uscare.

Prin interpolare, din tabelul 3.3 din SR EN 1992-1-1 cu valoarea lui h₀, se obține coeficientul k_h astfel:

 200-100            ...            0.85-1
 200-135            ...            0.85-kh
 -----------------------------------------

Deformația datorată contracției la uscare:

 ε_cd(t) = β_ds(t,ts) ∙ k_h  ∙ε_cd,0 = 1 ∙ 0.9475 ∙ 0.0005074 = 0.0004808

 Deformația datorată contracției endogene: 

ε_ca(∞) = 2.5 ∙ (fck - 10) ∙ 10^-6 = 2.5 ∙ (45 - 10) ∙ 10^-6 = 0.0000875
ε_ca(t) = β_as(t) ∙ ε_ca(∞) = 1 ∙ 0.0000875 = 0.0000875
unde β_as(t) = 1 - e^{-0.2∙√20805} ≅ 1

Contracția totală este:

ε_cs = ε_cd + ε_ca = 0.0004808 + 0.0000875 = 0.0005683

Efectul relaxării armăturii

Pierderi din scurtarea elastică datorită acțiunii precomprimării și a încărcarilor din gruparea frecventă (secțiunea 1):

∆σ_el = α_p ∙ σ_cp = 6.18 ∙ 14.417 = 89.1 MPa

∆P_el = ∆σ_el ∙ Ap = 89.1 ∙744∙ 10^-3 = 66.29 kN

σ_pm0 = σ_p2 - ∆σ_el = 1 356.164 - 89.1 = 1 267.064 MPa

P_m0 = P₂ - ∆P_el = 1 008.98 - 66.29 = 942.69 kN

Efortul unitar normal la nivelul armăturii pretensionate este:

Efortul în beton în vecinătatea armăturilor, considerând combinația cvasipermanentă de încărcări, este:

Valoarea variației efortului în armătura datorită relaxării sub forța de precomprimare se calculează în funcție de clasa de relaxare a oțelului și intervalul de timp standard (57 de ani) la care se adaugă efectul tratamentului termic.

în care ρ₁₀₀₀ = 2.5% pentru clasa 2 de comportare la relaxare a toroanelor, iar t₁ = 500 000 h ≅ 57 ani.

Efectul curgerii lente

Determinarea coeficientului de fluaj/curgere lentă la timpul t, pentru o încărcare aplicată la timpul t₀, ϕ(t,t₀), se face conform anexei B din SR EN 1992-1-1. Aceasta se calculează la un interval de timp de 57 de ani (500 000 ore) la care se adaugă efectul tratamentului termic.

t = 500 000 + 2 172.16 = 502 172.16 h

RH = 60% - umiditatea relativă a mediului

Unde

t = 20 805 zile este vârsta betonului la momentul considerat, în zile
t₀ = t_T = 2.52 zile este vârsta betonului la momentul încărcării, în zile

σ_c,qp este efortul în beton, în vecinatătea armăturilor, sub acțiunea greutății proprii și a fortei de precomprimare inițiale.

Deci

∆P_c+s+r = ∆σc_+s+r ∙ Ap = 262.47 ∙ 744 ∙ 10^-3 = 195.28 kN

Efortul în armătura precomprimată în faza finală:

P_m,∞ = P₃ - ∆P_c+s+r = 955.92 - 195.28 = 760.64 kN

^{Pierderile totale sunt de}  

Eforturi de calcul în armătură în faza finală pentru verificări la SLU

Eforturi de calcul în armătura în faza finală pentru verificări la SLS

Verificarea la SLS pentru limitarea eforturilor unitare

Verificarea eforturilor de compresiune la transfer

 Secțiunea 1

Secțiunea 2 

Verificarea eforturilor unitare de compresiune sub încărcări caracteristice

Secțiunea 1
Eforturi la partea inferioară:

Eforturi la partea superioară:

Secțiunea 2

Eforturi la partea inferioară:

Eforturi la partea superioară:

Verificarea conditiei de liniaritate a fenomenului de curgere lentă

Secțiunea 1

Secțiunea 2

Limitarea efortului în armăturile pretensionate

Efortul unitar în armătura după transfer trebuie să fie:

Sub încărcări caracteristice efortul în armătura trebuie să fie:

σ_pm(∞) = 1022.37 ≤ 0.75 ∙ f_pk = 0.75 ∙ 1860 = 1395 MPa √

Verificarea la SLS de fisurare

Verificarea se face conform punctului 7.3 din SR EN 1992-1

Clasa de expunere este XC1. Pentru aceasta clasă de expunere, deschiderea admisibilă a fisurilor sub încărcări frecvente este 0.2 mm.

Pentru secțiunea centrală se verifică starea de eforturi din beton sub încărcări frecvente:

Se observă că sub gruparea de încărcări frecvente secțiunea de beton este integral comprimată, elementul nefiind fisurat.

Verificarea la SLS de deformații

Verificarea se face conform punctului 7.4 din SR EN 1992-1.

Sageata admisibilă:

Se corectează modulul de elasticitate al betonului în funcție de curgerea lentă:

Valoarea contrasăgeții datorate precomprimării:

Valoarea săgeții din încărcări:

Valoarea totală a săgeții:

y_tot = y_ext - y_p = 42.39 - 43.91 = -1.52 mm < y_adm

Verificarea la SLU la încovoiere

 Valoarea de calcul a rezistenței armăturii:

Forța de întindere în armătura pretensionată

T_p = A_p ∙ f_pd = 744 ∙ 1452.174 ∙ 10^-3 = 1 080.42 kN

Forța de compresiune din armătura nepretensionată de la partea superioară:

C_s = A'_s ∙ f_yd = 326.73 ∙ 434.8 ∙ 10^-3 = 142.06 kN

Înâlțimea zonei comprimate:

Momentul capabil este:

Unde:         d = h - ap = 880 - 135 = 745 mm

Verificarea la SLU la forța tăietoare

Verificarea la forța tăietoare se face la o distanță d de reazem.
Se verifică dacă elementul este fisurat în secțiunea de calcul.

Elementul nu este fisurat.
Capacitatea la forța tăietoare se calculează cu relația:

Unde

S – momentul static al suprafeței situate deasupra axei ce trece prin centrul de greutate, în raport cu acea axă.

S = b_{talpa sup} ∙ h_{talpa sup} ∙ y_{talpa sup} + b_inima ∙ h_{inima sup} ∙ y_{inima sup} = 500 ∙ 134 ∙ 282 + 160 ∙ 215 ∙ 107 = 22 574 800 mm³

Calculul armăturii de pe capătul grinzii (modelul grinzii Gerber, calcul conform EC2)

Reacțiunea de pe capătul grinzii (V= 183.06 kN) este preluată prin intermediul a două tipuri de armături: armătura ortogonală de pe capătul grinzii (etrieri si furci drepte), respectiv armătura înclinată (furci înclinate).

Calculul armaturii ortogonale

Se consideră că armătura ortogonală preia 53% din reacțiunea de la capatul panei.

R = 53% ∙ 183.06 = 97.02 kN

Pentru o furcă de Ø20 :

unde H = 0.2 ∙ V = 0.2 ∙ 183.06 = 36.61 kN.

Pentru trei furci de Ø12 :

Calculul armăturii înclinate

Se considera ca armatura înclinată preia restul de 47% din reacțiunea de la capătul panei.

R = 47 % ∙ 183.06 = 86.04 kN

C'₁ = R = 86.04 kN
C'₂ = C'₁ = 86.04 kN
T'₁ = √2 ∙ C'₁ = √2 ∙ 86.04 = 121.67 kN
C'₃ = T'₁ = 121.67 kN
T'₂ = (T'₁+C'₃) ∙ cos⁡45° = (121.67 + 121.67) ∙ cos⁡45° = 172.06 kN

Pentru două bare de Ø16 dispuse ca armătură înclinată, avem

În urma acestor determinări, s-a obținut urmatoarea armare pe capătul panei:

Dispunerea armaturilor transversale

Pentru dispunerea etrierilor s-au respectat urmatoarele reguli:
-    imediat după decupajul panei (“gâtul de lebadă”) s-au dispus în mod obligatoriu 3 etrieri Ø8/5;
-    următorii etrieri să aibă pasul mai mare decât precedenții (cu observația că nu se acceptă variații bruște ale ariei de armătură transversală în lungul grinzii);
-    în orice punct al grinzii, forța tăietoare de calcul să fie mai mică decât cea capabilă.

Diagrama de eforturi de calcul

Calculul momentului capabil al grinzii cu 4 toroane

Ap = 4 ∙ 93 = 372 mm²

Forța de întindere în armătura pretensionată:

Tp = Ap ∙ f_pd = 372 ∙ 1452.174 ∙ 10^-3 = 540.21 kN

Forța de compresiune din armătura nepretensionată de la partea superioară:

Cs = A'_s ∙ f_yd = 326.73 ∙ 434.8 ∙ 10^-3 = 142.06 kN

unde As’ este aria de armatura din talpa superioară (două bare de diametru 12 mm și încă două de diametru Ø8).

Înălțimea zonei comprimate:

Momentul capabil este:

Calculul momentului capabil al grinzii cu 6 toroane

Ap = 6 ∙ 93 = 558 mm²

Forța de întindere în armătura pretensionată:

Tp = Ap ∙ f_pd = 558 ∙ 1452.174 ∙ 10^-3 = 810.31 kN

Forța de compresiune din armătura nepretensionată de la partea superioară:

Cs = A'_s ∙ f_yd = 326.73 ∙ 434.8 ∙ 10^-3 = 142.06 kN

unde As’ este aria de armătura din talpa superioara (două bare de diametru 12 mm și încă două de diametru Ø8).

Înălțimea zonei comprimate:

Momentul capabil este:

Verificarea la incovoiere oblica

(unde c este coeficientul seismic)

Pentru calculul momentului capabil pe direcția seismului, se consideră că în talpa superioară a grinzii armătura longitudinală este alcatuită din două bare (aflate una în stânga secțiunii, alta în dreapta) a căror arie de armătură este de fapt aria inițială (adică, în cazul nostru, cele două bare de diametru 12 mm plus cele două bare de diametru 8 mm).

Se observă că momentul capabil pe direcția seismului este mai mic decât momentul de calcul. Prin urmare condiția de verificare nu este îndeplinită. Folosind programe speciale care țin seama și de celelalte bare de armătura din grindă (inclusiv toroane), se poate determina aria necesară de armătură pentru ca aceasta condiție de verificare la încovoiere oblică să fie îndeplinită. În cazul nostru, barele de armătura din talpa superioară se vor modifica astfel: